Question

如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为．
（1）求证：在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC；
（2）当取何值时，△DFE与△DMG全等；
（3）在（2）的前提下，若

BD

DC

=

119

126

，S△AED=28cm2，求S_△BFD．

Answer 1

分析：（1）由角平分线的性质可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面积转化为底AE和CG的比值，根据路程=速度×时间求出AE和CG的长度即可证明在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．
（2）若△DFE与△DMG全等，则EF=MG，利用已知条件求出EF和MG的长度，建立方程解方程即可求出运动的时间．
（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM，
∵S_△AED=

1

2

AE•DF，S_△DGC=

1

2

CG•DM，
∴

S△ADE

S△DGC

=

AE

CG

，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴AE=2tcm，CG=tcm，
∴

AE

CG

=2，
即

S△ADE

S△DGC

=2，
∴在运动过程中，不管取何值，都有S_△AED=2S_△DGC．

（2）解：设时间为t时，△DFE与△DMG全等，则EF=MG，
①当M在线段CG的延长线上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t，MG=AC-CG-AM=4-t，
即10-2t=4-t，
解得：t=6，
当t=6时，MG=-2，所以舍去；
②当M在线段CG上时，
∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，
∴EF=AF-AE=10-2t（cm），MG=AM-（AC-CG）=t-4（cm），
即10-2t=t-4，
解得：t=

14

3

，
综上所述当t=

14

3

时，△DFE与△DMG全等．

（3）∵t=

14

3

，
∴AE=2t=

28

3

（cm），
∵DF=DM，
∴S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：CD=119：126，
∵AC=14cm，
∴AB=

119

9

（cm），
∴BF=AB-AF=

119

9

-10=

29

9

（cm），
∵S_△ADE：S_△BDF=AE：BF=

28

3

：

29

9

，S_△AED=28cm²，
∴S_△BDF=

29

3

（cm²）．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．