Question

【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为M（1，0），直线与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为（3，－4），B点在y轴上．

（1）求m的值及这个二次函数的解析式；

（2）在x轴上找一点Q，使△QAB的周长最小，并求出此时Q点坐标；

（3）若P（t，0）是x轴上的一个动点，过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点．

①设线段DE的长为h，当0＜t＜3时，求h与t之间的函数关系式；

②若直线AB与抛物线的对称轴交点为N，问是否存在一点P，使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ,m=-1;（2） (,0);（3）① ；

② 存在,理由见解析.

【解析】分析：（1）设抛物线的解析式为y=，将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式，即可求出抛物线的解析式和m的值；（2）使△QAB的周长最小，即是求AQ+BQ的值最小，作出B点关于x轴的对称点B′，当A、Q、B′三点在一条直线上时，△QAB的周长最小，求得直线AB'的解析式，即可求得点Q的坐标；（3）①根据P点坐标分别表示出D、E两点坐标，即可求出h与t之间的函数关系式；② 存在，分抛物线在直线上方时和抛物线在直线下方时两种情况求点P的坐标.

详解：

(1)∵二次函数图象的顶点M(1, 0), ∴二次函数可表达为y=

又∵图象过A（3，－4），∴=-4，解得a=-1,

∴二次函数解析式为： ,

A(3,－ 4)在直线y = －x + m上：-3+m=-4,m=-1；
（2）由得B(0,-1)，
B关于x轴的对称点为B'(0, 1)
设直线AB'的解析式为:y=kx+1，将A（3，－4）代入得：-4=3k+1，解得k=- ,

∴y=-，令y=0，得x=,
∴ (,0)，此时A、Q、在一条直线上，所以 ,

即△QAB的周长最小， (,0),

（3）直线AB的解析式为：y=-x-1，抛物线为： ,

①∵0＜t＜3，∴h=-t+2t-1-(-t-1)=-t+3t ；
② 存在
∵ M(1,0)∴N(1,-2)，∴MN=2， MN//DE,∴只要DE=MN=2即可

1）当抛物线在直线上方时，由-t+3t =2，解得t=1或t=2,

当t=1时MN与DE重合，舍去，所以t=2，此时P(2,0),
2）当抛物线在直线下方时，由t+3t =2，解得，

此时和，综上所述P点共有：

，，共三个