Question

如图，平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，且OA-AB.

  (1)如图，在图中画出△AOB关于BO的轴对称图形△A₁OB，若A(-3，1)，请求出A₁点的坐标：

  (2)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，AB与y轴交于点E，且AE=BE．AF⊥y轴交BO于F，连结EF，作AG//EF交y轴于G．试判断△AGE的形状，并说明理由；

} (3)当△AOB绕着原点O旋转到如图所示的位置时，若A(，3)，c为x轴上一点，且OC=OA，∠BOC=15°，P为y轴上一点，过P做PN⊥AC于N，PM⊥AO于M，当P在y轴正半轴上运动时，试探索下列结论：①PO+PN-PM不变，②PO+PM+PN不变．其中哪一个结论是正确的？请说明理由并求出其值．

Answer 1

 (1)解:如图所示：△A₁OB为所画的轴对称图形                            

过A做AC⊥x轴于C，A₁D⊥x轴于D

     ∵A（-3,1）

     ∴AC=1，OC=3

     ∵OA＝AB,∠BAO=90°

     ∴∠BOA=45°

     ∴∠BOA₁=45°

     ∴∠AOA₁=90°

∴∠AOC+∠A₁OD=90°

又∵∠AOC+∠OAC=180°-∠ACO=90°

∴∠CAO=∠A₁OD

又∵∠ACO=∠ODA₁=90°

    AO=A₁O

∴△ACO≌△ODA₁                                                                                                

∴AC=OD=1,OC=A₁D=3

∴A_1,（1,3）                                                     

（2）△AEG为等腰三角形                                          

证明：过B做BH⊥AB于B交AF的延长线于H

∵∠OAE =∠ABH =90°

  ∠AOE=∠BAH=90°－∠OAH

  OA=AB

∴△AEO≌△BHA                                                 

∴AE=BH=BE，∠AEO=∠BHA

又∵∠EBF=∠HBF=45°

     BF=BF

∴△BEF≌△BHF（SAS)

∴∠BHF=∠BEF                                                 

∵AG∥EF

∴∠EAG=∠BEF

∴∠EAG=∠AEG

∴AG=EG

即△AEG为等腰三角形                                            

（3）PO+PN-PM=3不变

解：过A做AL⊥x轴于L，连结AP、PC                                 

∵A（,3）

∴AL=3                                                                                                                     

∵∠AOC=45°+15°=60°

OC=OA

∴△AOC为等边三角形

∴AO=CO=AC                                                       

∵

又∵

∴

∴PO+PN-PM=AL=3