Question

已知：如图，在直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点的坐标为（1，0），直线l过点A（-1，0）与⊙C切于D点．
（1）求直线l的解析式；
（2）在直线l上存在点P，使△APC为等腰三角形，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设直线l的解析式是y=kx+b，由三角形的有关性质可得A、B的坐标，用待定系数法容易求得直线的解析式，
（2）根据题意，B在AC的垂直平分线上，故△ABC为等腰三角形，由等腰三角形的性质，易得答案．

解答：解：（1）如图①，设直线l的解析式是y=kx+b，
连接DC，则∠ADC=90°，DC=1，AC=2，
∵△DOC为等边三角形，
∴∠DAC=30°；
设l与y轴的交点为B（0，y），则y=OAtan30°=

3

3

．
由B（0，

3

3

），A（-1，0）；
用待定系数法求得直线的解析式是y=

3

3

x+

3

3

，
或设D（x₀，y₀），作DM⊥x轴于M，
在Rt△ADC中：AD=

AC2-DC2

=

22-12

=

3

y₀=

1

2

AD=

3

2

，AM=AD•cos30°=

3

2

，
x₀=

3

2

-1=

1

2

，
由D（

1

2

，

3

2

）与S（-1，0），
用待定系数法求解直线的解析式是：y=

3

3

x+

3

3

（2）方法一：如图①．
①∵B在AC的垂直平分线上，∴△ABC为等腰三角形，
∴B即为所求的一个点P，即P₁（0，

3

3

）
②设P₂（x₂，y₂）在直线l上，∵△CAP₂为等腰三角形，
∴作P₂G⊥x轴于G．在Rt△AGP₂中，∵∠GAP₂=30°，∴P₂G=

1

2

AP₂=1
∴AG=

3

，∴P₂（-

3

-1，-1）（8分）
③设P₃（x₃，y₃）在直线l上，∵△CAP₃为等腰三角形，∴P₃A=AC．
作P₃F=

1

2

P₃A=1，AF=P₃Fcot30°=

3

．∴P₃（

3

-1，1）
④设P₄（x₄，y₄）在直线l上，连P₄C，
∵△CAP₄为等腰三角形，
∴P₄C=CA=2；
作P₄E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合．
在Rt△P₄CE中，P₄C=2∠P₄CE=60°，
∴CE=

1

2

P₄C=1，P₄E=

3

，
∴P₄（2，

3

），（12分）
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，

3

3

），（-

3

-1，1），(

3

-1，1)，（2，

3

）
方法二：如图②
设P₂（x₂，y₂）在l上，
∴P₂满足l的解析式，
则P₂（x₂，

3

3

x₂+

3

3

），且△CAP₂为等腰三角形，
∴P₂C=AC=2，
作P₂E’⊥x轴于E’，可证E’和E重合，在Rt△P₂CE中，
（x₂-1）²+[

3

3

（x₂+1）]²=2²，
解之，得x₂=2或x₂=-1；
而x₂=-1不合题意，舍去，
∴P₂（2，

3

）．
③设P₃（x₃，y₃）在l上，
∴P₃满足l的解析式．则P₃（x₃，

3

3

x₃+

3

3

），
且△CAP₃为等腰三角形，∴P₃A=AC=2；
作P₃F⊥x轴于F．在Rt△P₃FA中，（-1-x₃）²+[

3

3

（x₃+1）]²=2²，
（x₃+1）²+

1

3

（x₃+1）²=4；
解之，得x₃=

3

-1，或x₃=-

3

-1，
∴满足△CAP₃为等腰三角形的点P₃有两个，
即P₃（

3

-1，1）或（-

3

-1，-1）；
∴所求的点P有4个，坐标分别是（0，

3

3

），（2，

3

），（

3

-1，1），（-

3

-1，-1）．

点评：此题把一次函数与三角形、圆相结合，考查了同学们综合运用所学知识的能力，是一道综合性较好的题目，有一定的难度．