题目内容

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC和CD上，且BE=DF= $数学公式$ AB．小松同学在作题时发现，当n=2时，sin∠EAF= $数学公式$ ，当n=3时，sin∠EAF= $数学公式$ ，当n=4时，sin∠EAF= $数学公式$ ，当n=5时，sin∠EAF= $数学公式$ ．
（1）当BE=DF= $数学公式$ AB时，sin∠EAF=______．
（2）证明你上面的结论．

解：（1）将各三角函数值排列出来，将 $\text{[math]}$ 化为 $\text{[math]}$ ，
从而观察可得出结论，当BE=DF= $\text{[math]}$ AB时，sin∠EAF= $\text{[math]}$ ．

（2）证明：设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，

连接EF，作FM⊥AE于点M，
则S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，
=n²- $\text{[math]}$ ×1×n- $\text{[math]}$ ×1×n- $\text{[math]}$ ×（n-1）²
= $\text{[math]}$ （n²-1）．
在Rt△AFM中，FM=AF•sin∠EAF，AE=AF= $\text{[math]}$
∴S=（1+n²）sin∠EAF
∴ $\text{[math]}$ （1+n²）sin∠EAF= $\text{[math]}$ （n²-1）
∴sin∠EAF= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将将 $\text{[math]}$ 化为 $\text{[math]}$ ，根据分子及分母的特点可得出当BE=DF= $\text{[math]}$ AB时，sin∠EAF的值．
（2）设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，先根据S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF求出一个值，然后在Rt△AFM中在表示出一个值，两者相等即可得出结论．
点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，属于规律型，难度较大，解答本题的关键是仔细观察题目所给三角函数值的特点，从而得出结论，这样题目就变得简单化．