题目内容

x … -1 0 1 3 …
y … -3 1 3 1 …
已知二次函数y=ax²+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中：①抛物线开口向上；②抛物线与y轴交于负半轴；③当x=4时，y＞0；④方程ax²+bx+c=0的正根在3与4之间．其中正确的是 ________（选填序号）

④
分析：先根据表中x=0时，y=1；x=-1时，y=-3；x=1时，y=3代入二次函数y=ax²+bx+c的解析式，再根据二次函数的性质对各小题进行逐一分析．
解答：∵x=0时，y=1；x=-1时，y=-3；x=1时，y=3代入二次函数y=ax²+bx+c的解析式得，
$\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴此二次函数的解析式为：y=-x²+3x+1，
∵a=-1＜0，
∴此抛物线开口向下，故①错误；
∵c=1＞0，
∴抛物线与y轴交于正半轴，故②错误；
∵当x=4时，y=-4²+3×4+1=-3＜0，故③错误；
令-x²+3x+1=0，则x= $\text{[math]}$ ，
∴方程的正根为x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵3＜ $\text{[math]}$ ＜4，
∴3+3＜3+ $\text{[math]}$ ＜3+4，
∴3＜ $\text{[math]}$ ＜3.5，
∴方程ax²+bx+c=0的正根在3与4之间，故④正确．
故答案为④．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意得出抛物线的解析式是解答此题的关键．