Question

【题目】自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”.

（1）如图1，已知△ABC，AC≠BC，过点C能否画出△ABC的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由.

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，EF垂直平分AD，垂足为F，交BC于点E，已知AB=3，BC=8，CD=5.求证：直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；

（3）如图3，在△ABC中，AB=BC=6，AC=8，请你画出△ABC的一条“等分积周线”EF（要求：直线EF不过△ABC的顶点，交边AC于点F，交边BC于点E）,并说明EF为“等分积周线”的理由.

Answer 1

【答案】（1）不能，理由见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC，得出AC≠BC，进而得出答案；
（2）根据勾股定理可得出：AB2+BE2=CE2+DC2，进而得出BE=5，CE=3，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
（3）在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．

（1）不能，

理由：如答图1，若直线CD平分△ABC的面积，那么S△ADC=S△DBC，
∴AD=BD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC，
∴过点C不能画出一条“等分积周线”
（2）如答图2，连接AE、DE，设BE=x，
∵EF垂直平分AD，∴AE=DE，AF=DF，S△AEF=S△DEF，

∵∠B=∠C=90°，AB=3，BC=8，CD=5，
∴Rt△ABE和Rt△DCE中，根据勾股定理可得出：
AB2+BE2=CE2+DC2，即32+x2=（8-x）2+52，
解得：x=5，所以BE=5，CE=3，
∴AB+BE=CE+DC，
S△ABE=S△DCE，
∴S四边形ABEF=S△ABE+S△AEF，

S四边形DCEF=S△DEF+S△DCE，
∴S四边形ABEF=S四边形DCEF，
AF+AB+BE=DF+EC+DC，
∴直线EF为四边形ABCD的“等分积周线”；
（3）如答图3，在AC上取一点F，使得FC=AB=6，在BC上取一点E，使得BE=2，
作直线EF，则EF是△ABC的等分积周线，
理由：由作图可得：AF=AC-FC=8-6=2，在CB上取一点G，使得CG=AF=2，则有AB+AF=CF+CG，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
在△ABF和△CFG中，

，
∴△ABF≌△CFG（SAS），
∴S△ABF=S△CFG，
又易得BE=EG=2，
∴S△BFE=S△EFG，
∴S△EFC=S四边形ABEF，
AF+AB+BE=CE+CF=10，
∴EF是△ABC的等分积周线，
若如答图4，当BM=2cm，AN=6cm时，直线MN也是△ABC的等分积周线．（其实是同一条）