Question

如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）说明点B是否在暗礁区域内；
（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长；
（2）本题实际上是问，C到AB的距离即CD是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD的值，（1）已经求出，只要进行比较即可．

解答：解：（1）作CD⊥AB于D点，
设BC为x，
在Rt△BCD中∠CBD=60°，
∴BD=

1

2

x．
CD=

3

2

x．
在Rt△ACD中∠CAD=30°tan∠CAD=

CD

AD

=

3

3

，
∴

3 2 x

18+ 1 2 x

=

3

3

．
∴x=18．
∴B点不在暗礁区域内；

（2）∵CD=

3

2

x=9

3

，
∵9

3

＜16，
∴若继续向东航行船有触礁的危险．

点评：本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．