题目内容
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BC=8，∠B=30°，求AC的长．
（1）证明：如图，连接OD．设AB与⊙O交于点E．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
又∵∠EOD=2∠EAD，
∴∠EOD=∠BAC，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDO=90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O切线．
（2）解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，
∴AC=BC×tan30°=8×
=
．
分析：（1）如图，连接OD．欲证BC是⊙O切线，只需证明OD⊥BC即可．
（2）在Rt△ACB中，解直角三角形求出AC即可．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，解直角三角形，切线的判定的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD，
又∵∠EOD=2∠EAD，
∴∠EOD=∠BAC，
∴OD∥AC．
∵∠ACB=90°，
∴∠BDO=90°，即OD⊥BC，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O切线．
（2）解：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，∠B=30°，BC=8，
∴AC=BC×tan30°=8×
=．分析：（1）如图，连接OD．欲证BC是⊙O切线，只需证明OD⊥BC即可．
（2）在Rt△ACB中，解直角三角形求出AC即可．
点评：本题考查了平行线的性质和判定，解直角三角形，切线的判定的应用，题目比较典型，是一道比较好的题目，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
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