Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.

1.若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，

则k =       ；

2.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示． 求证：BE-DE=2CF；

3.若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

 

Answer 1

 

1.k=1；

2.见解析

3.最大值为

解析:解：（1）k=1；                          

（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，

∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,

∴AC=12，AB=.

∵M为AB中点，∴CM=,

∵AD=，

∴AD=.

∵M为AB中点，F为BD中点，

∴FM==2.

 

∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.

 

情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，

连结MF和CM，

类似于情况1，可知CF的最大值为.             

综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值.