Question

如图：直线y=-x+6与坐标轴分别相交于点A、B，点P是直线AB上的一点，Q是双曲线y=

k

x

(k≠0)上的一点，若O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，请在图中找出所有符合条件的点Q，并求出点Q的坐标和写出相应k的值．

Answer 1

分析：当双曲线y=

k

x

(k≠0)在一、三象限时，P、B两点重合，Q点为正方形BOAQ的一个顶点，图形符合题意；
当双曲线y=

k

x

(k≠0)在二、四象限时，作OQ∥AB，且OQ=OA=6，再作PQ∥OA交直线AB于P点，图形符合题意．

解答：
解：令y=0得x=6，令x=0得y=6，可加A，B两点坐标分别为：A（6，0），B（0，6）；此处利用到课本关于坐标x轴上的点纵坐标为零，y轴上的点横坐标为零；
∵P在AB上，
∴P在直线y=-x+6上，这样可设P点坐标为（x，-x+6）；这种设未知数简便了运算；
（1）根据OQAP为菱形，则|OP|=|AP|，（菱形四个边相等的性质）；
由两点距离公式得：|OP|=

(x-0)2+(-x+6-0)2

=

2x2-12x+36

，
|AP|=

(x-6) 2+(-x+6-0) 2

=

2(x-6) 2

；
∴2x²-12x+36=2（x-6）²，
解得：x=3；
于是点P的坐标为：（3，3）；
设Q坐标（xq，yq）又由于OA的中点坐标为：（3，0）；PQ的中点的坐标为：（

xq+3

2

，

yq+3

2

），
根据菱形的性质OQ的中点即为PA的中点，
∴3=

xq+3

2

，0=

yq+3

2

，
解得：x_q=3，y_q=-3
∴此时点Q坐标为：（3，-3），k=3×（-3）=-9；

（2）同理，OAQP为菱形时，|OA|=|OP|

(6-0) 2+(0-0) 2

=

(x-0) 2+(-6+x-0) 2

，
解得：x=0或x=6；
P点坐标为（0，6）或（6，0）（当P点为（6，0）与A点重合，无法组成菱形PAQP所以舍去）
此时：O（0，0）A（6，0）Q（xq，yq）P（0，6）
OQ中点即为AP中点有：x_q=6，y_q=6，
Q点坐标为：（6，6），k=6×6=36；

（3）同理，OAPQ为菱形时，|OP|=|AP|

(6-0) 2+(0-0) 2

=

(x-6) 2+(-x+6-0) 2

，
解得x=6+3

2

或x=6-3

2

；
P点坐标为：（6+3

2

，-3

2

）或（6-3

2

，3

2

）
此时O（0，0），A（6，0），P（6+3

2

，-3

2

）或（6-3

2

，3

2

），Q（xq，yq）
OP中点即为AQ中点，可以求出：
Q点坐标为：（3

2

，-3

2

）或（-3

2

，3

2

），k=3

2

×（-3

2

）=（-3

2

）×3

2

=-18；

点评：理解菱形的四边相等，对边平行，是判断本题的关键，需要根据双曲线所在的象限分类解题，明确正方形属于菱形的特殊情况．