Question

（2013•竹溪县模拟）如图BE是⊙O的直径，点A是⊙O上一点，连结AE，延长BE至点P，连结PA，∠PAE=∠ABE，过点A作AC⊥BE于点C，点D是BO上一点，直线AD交⊙O于点F，连结FE与直线AC交于点G．
（1）直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
（2）若PE=4，tan∠EAC=

1

2

，求⊙O的半径的长；
（3）求证：AE²=EG•EF．

Answer 1

分析：（1）连接OA，根据等腰三角形性质和已知求出∠ABE=∠BAO=∠PAE，求出∠BAE=∠PAO=90°，根据切线判定推出即可．
（2）设CE=x，AC=2x，证△ACB∽△ECA，求出BC=4x，求出OA=OE=2.5x，在Rt△PAO和Rt△PCA中，由勾股定理得出PA²=PC²+AC²=PO²-OA²，得出方程，求出x即可．
（3）求出∠EAC=∠AFE，∠AEF=∠AEG，推出△EAG∽∠EFA，得出

AE

EG

=

EF

AE

，即可得出答案．

解答：（1）直线PA为⊙O的切线，
证明：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠ABE=∠BAO，
∵∠PAE=∠ABE，
∴∠PAE=∠BAO，
∴∠PAE+∠OAE=∠BAO+∠OAE，
∴∠BAE=∠PAO，
∵BE是⊙O直径，
∴∠BAE=90°，
∴∠PAO=90°，
∴OA⊥PA，
∵OA为半径，
∴直线PA为⊙O的切线；

（2）解：∵AC⊥BE，
∴tan∠EAC=

1

2

=

CE

AC

，
∴设CE=x，AC=2x，
∵AC⊥BE，∠BAE=90°，
∴∠ACE=∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠EAC=90°，∠EAC+∠AEC=90°，
∴∠BAC=∠AEC，
∵∠ACE=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△ECA，
∴

AC

BC

=

CE

AC

，
∵CE=x，AC=2x，
∴BC=4x，
∴BE=x+4x=5x，
∴OA=OE=2.5x，
∵在Rt△PAO和Rt△PCA中，∠ACP=∠PAO=90°，由勾股定理得：PA²=PC²+AC²=PO²-OA²，
∴（4+x）²+（2x）²=（4+2.5x）²-（2.5x）²，
5x²-12x=0，
x₁=0（舍去），x₂=

12

5

，
∴OA=2.5x=2.5×

12

5

=6，
即⊙O的半径的长是6；

（3）证明：∵AC⊥BE，
∴∠BAE=∠ACE=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，∠ABE+∠AEC=90°，
∴∠ABE=∠EAC，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠EAC=∠AFE，
∵∠AEF=∠AEG，
∴△EAG∽∠EFA，
∴

AE

EG

=

EF

AE

，
∴AE²=EG•EF．

点评：本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．