Question

如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为10，小圆的半径为6，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．

(1)求BD 的长；

(2)求∠ABE+2∠D的度数；

(3)求的值．（改编）

Answer 1

解： （1）连接OC，并延长BO交AE于点H，

∵AB是小圆的切线，C是切点，

∴OC⊥AB，

∴C是AB的中点． 

∵AD是大圆的直径，

∴O是AD的中点．

∴OC是△ABD的中位线．

∴BD=2OC=12．    （4分）

（2） 连接AE，由（1）知C是AB的中点．

同理F是BE的中点．

由切线长定理得BC=BF．

∴BA=BE．                       

∴∠BAE=∠E．

∵∠E=∠D， 

∴∠ABE+2∠D=∠ABE+∠E+∠BAE=180º． （4分） 

（3） 连接BO，在Rt△OCB中，

∵OB=10，OC=6，

∴BC=8． 

由（2）知∠OBG=∠OBC=∠OAC．

∵∠BGO=∠AGB，

∴△BGO∽△AGB．

∴             （4分）