Question

【题目】如果抛物线的顶点在拋物线上，抛物线的顶点也在拋物线上时，那么我们称抛物线与“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线：与：是“互为关联”的拋物线，点分别是抛物线，的顶点，抛物线经过点．

（1）直接写出的坐标和抛物线的解析式；

（2）抛物线上是否存在点，使得是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，点在抛物线上，点分别是抛物线，上的动点，且点的横坐标相同，记面积为（当点与点重合时），的面积为（当点与点重合时，），令，观察图象，当时，写出的取值范围，并求出在此范围内的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）或；理由见解析；（3）-2≤x≤2，当时，的最大值为16．

【解析】

（1）由抛物线：可得，将，代入，求得，；

（2）易得直线的解析式：，①若为直角顶点，，；②若为直角顶点，，；③若为直角顶点，设不符合题意；

（3）由，得，设，，且，易求直线的解析式：，过作轴的平行线交于，，设交于点，易知，，所以，当时，的最大值为.

（1）由抛物线：可得，

将代入

得，

解得，

∴，

∴；

（2）易得直线的解析式：，

①若为直角顶点，，

∴，

直线解析式为

联立，

解得或，

∴；

②若为直角顶点，，

同理得解析式：，

联立，

解得或，

∴；

③若为直角顶点，设

由得，

即，

或（无解）

解得或（不符合题意舍去），

∴点或；

（3）∵，

∴，

设，，且，

易求直线的解析式：，

过作轴的平行线交于，

则，

设交于点，易知，

，

当时，的最大值为16．