Question

问题探究

⑴ 请在图①中作出两条直线，使它们将圆的面积四等分；

⑵ 如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

⑶ 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=，CD=，且＞，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.

 

		③
	①		②

 

 

Answer 1

 解：（1）如图1所示,( 只要两直线互相垂直)                        

                                                                               

（2）连接AC、BD交于O，作直线OM，分别交AD于P，交BC于Q，过O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，则直线EF、OM将正方形的面积四等份，                                                                

理由是：∵点O是正方形ABCD的对称中心，

∴AP=CQ，EB=DF，

在△AOP和△EOB中

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，

∴∠AOP=∠BOE，

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，

∴△AOP≌△EOB，

∴AP=BE=DF=CQ，                                                    

设O到正方形ABCD一边的距离是d，

               

∴S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPOF，                   

直线EF、OM将正方形ABCD面积四等份；                             

（3）存在，当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD的面积二等份，           

方法一：如图③，连接BP并延长交CD的延长线于点E，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠EDP，∵在△ABP和△DEP中， ,

∴△ABP≌△DEP（ASA），

∴BP=EP，

连接CP，

∵△BPC的边BP和△EPC的边EP上的高相等，

又∵BP=EP，

∴S△BPC=S△EPC，

作PF⊥CD，PG⊥BC，则BC=AB+CD=DE+CD=CE，

由三角形面积公式得：PF=PG，

在CB上截取CQ=DE=AB=a，则S△CQP=S△DEP=S△ABP                   

∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP

即：S四边形ABQP=S四边形CDPQ，

∵BC=AB+CD=a+b，

∴BQ=b，

∴当BQ=b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分．