Question

已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点E作EF∥BC，交AC于点F，设EF=x．
（1）用x的代数式表示△AEF的面积；
（2）将△AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据等边三角形的性质求得大等边三角形的高，进一步求得其面积．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，求得△AEF的面积；
（2）此题应分两种情况考虑：当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积；当叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A^′处时，重叠部分的面积即是三角形AEF的面积减去A′MN的面积，根据轴对称的性质和相似三角形的性质进行计算．

解答：解：（1）在等边△ABC中，
作AD⊥BC于D，交EF于H，
∴BD=DC=

1

2

BC=a．
又∵tan∠ABD=tan60°=

AD

BD

，
∴AD=

3

a．（1分）
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴

AH

AD

=

EF

BC

，

AH

3 a

=

x

2a

．
∴AH=

3

2

x．（2分）
∴S_△AEF=

1

2

AH×EF．
S_△AEF=

1

2

3

2

x²=

3

4

x²．（3分）

（2）①当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE内或BC边上时
y=

3

4

x²（0＜x≤a）．（4分）
②当折叠后△AEF的顶点A落在四边形BCFE外点A^′处时，

A′F交BC于M，A′E交BC于N，连接AA′交EF于H，交BC于D，

∴

AH

AD

=

x

2a

∴

AH

HD

=

x

2a-x

，
又∵AH=A′H，
∴

A′H

HD

=

x

2a-x

，
∴

A′H

A′D

=

x

2x-2a

，
∴

S△A′EF

S△A′MN

=(

x

2x-2a

)2（5分）

3 4 x2

S△A′MN

=

x2

(2x-2a)2

，
∴S_△A’_MN=

3

4

(2x-2a)2．
∴S_{四边形MFEN}=

3

4

x²-

3

4

(2x-2a)2．（6分）
∴y=-

3 3

4

x2+2

3

ax-

3

a2（a＜x＜2a）．（7分）

点评：此题综合运用了相似三角形的性质、等边三角形的性质和轴对称的性质．特别注意第2小题的两种情况．