Question

已知，在△ABC中（∠A＜∠B），AB=AC=8，cosA=

7

8

．
（1）求BC的长（如图a）；
（2）P、Q分别是AB、BC上的点，且BP：CQ=2：1，连接PQ并延长，交AC的延长线于点E，设CQ=x，CE=y（如图b）．
①求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；
②当x为何值时，△PEA是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据题意作辅助线，然后根据勾股定理及余弦即可得出答案，
（2）①根据题意作辅助线，然后根据平行线分线段成比例的性质列出一元二次方程，即可推理得出答案，
②根据题意作辅助线，然后利用假设推理及三角函数即可推理得出答案．

解答：解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为点D，
∵在Rt△ADB中，AB=8，cosA=

7

8

，
∴AD=AB•cosA=7，
∴CD=1，BD=

82-72

=

15

，
∴在Rt△BDC中，BC=

BD2+CD2

=

15+1

=4（1分），

（2）①过点P作PF∥BC，交AC于点F，
∴

PF

BC

=

AP

AB

=

AC-FC

AC

，
∴

PF

4

=

8-2x

8

=

8-FC

8

，
∴PF=4-x，FC=2x，
∵PF∥BC，
∴

CQ

PF

=

CE

FE

，
∴

x

4-x

=

y

2x+y

，
∴y=

x2

2-x

(0＜x＜2)，
②若AP=AE，AP＜8，AE＞8，矛盾，
∴AP=AE不存在，
若AE=PE，则∠A=∠APE，
∵∠APE＞∠B，∠A＜∠B，矛盾，
∴AE=PE不存在，
若AP=EP，过点P作PM⊥AE，垂足为点M，
∴AM=

AE

2

=

8+y

2

，
∴cosA=

AM

AP

=

8+y 2

8-2x

=

7

8

，
整理得7x+2y=12，
又∵y=

x2

2-x

，解得x1=

6

5

，x2=4（舍去），
∴当x=

6

5

时，△PEF是等腰三角形．

点评：本题主要考查了勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例的性质以及解直角三角形，比较综合，难度较大．