题目内容

三角形纸片ABC，∠C＝，AB＝2BC＝12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如图．

(1)当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；

(2)在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

答案：
解析：

　　(1)在Rt△ABC中，sinA＝＝，∴∠A＝＝∠EDF，AC＝AB·cos＝6．∵△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝(－)＝，∴∠DFC＝－2∠DFE＝，∴DF＝2DC＝AF，CF＝DC，∴DC＋2DC＝6，∴DC＝＝12－18，CF＝DC＝36－18，∴△DCF的面积S＝DC·CE＝·(12－18)·(36－18)＝378－648;

　　(2)不存在．理由如下：在Rt△ABC中，∵∠A＝，∴∠B＝－＝，因为∠EDF＝，如果△DEF和△BDE相似，则∠BDE和∠BED必须有一个等于30°，显然当D点与C点重合的时候∠BDE最小，此时∠BDE＝，所以∠BDE不可能等于，如果∠BED＝那么∠BDE＝，而∠DEF＝(－)＝，所以△DEF和
提示：

练习册系列答案
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17、如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC=110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF=
40°
．
图1是边长分别为4
3
和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）．
（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；
探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；
请问：经过多少时间，△PQR与△ABC重叠部分的面积恰好等于
7
3
4
？
（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设
∠AC C′=α（30°＜α＜90，图4）；
探究：在图4中，线段C′N•E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N•E′M的值，如果有变化，请你说明理由．
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操作1：如图1，一三角形纸片ABC，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，沿DE将纸片剪开，并将其中的△ADE纸片绕点E旋转180°后可拼合（无重叠无缝隙）成平行四边形纸片BCFD．
操作2：如图2，一平行四边形纸片ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD边的中点，沿EF剪开并将其中的△BFE纸片绕点E旋转180°到△AF1E位置；沿HG剪开并将其中的△DGH纸片绕点H旋转180°到△AG1H位置；沿FG剪开并将△CFG纸片放置于△AF1G1的位置，此时四张纸片恰好拼合（无重叠无缝隙）成四边形FF1G1G．则四边形FF1G1G的形状是
 
．
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操作、思考并探究：
（1）如图3，如果四边形ABCD是任意四边形（不是梯形或平行四边形）的纸片，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点．依次沿EF、FG、GH、HE剪开得到四边形纸片EFGH．请判断四边形纸片EFGH的形状，并说明理由．
（2）你能将上述四边形纸片ABCD经过恰当地剪切后拼合（无重叠无缝隙）成一个平行四边形纸片？请在图4上画出对应的示意图．
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（3）如图5，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，若△AEH、△BEF、△CFG、△DGH的面积分别为S1、S2、S3、S4，且S1=2，S3=5，则四边形ABCD是面积是
 
．（不要求说明理由）
将等边三角形纸片ABC折叠，使点A落在对边BC上的点D处，折痕交AB于点E，交AC于点F．
（1）如图1，当BD=CD时，求证：AE=AF；
（2）如图2，当
BD
CD
=
1
2
时，求
AE
AF
的值；
（3）若
BD
CD
=
m
n
，请直接写出
AE
AF
的值（不需要过程）．
如图，小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①），再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

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