Question

已知：如图△ABC内接于⊙O，OH⊥AC于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，∠B=30°，OH=5

3

．请求出：
（1）∠AOC的度数；
（2）劣弧

AC

的长（结果保留π）；
（3）线段AD的长（结果保留根号）．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理得，∠AOC=2∠B=60°；
（2）由等腰三角形的性质：底边上的高与顶角的平分线重合知，∠AOH=30°，故可由余弦的概念求得AO的值，进而由弧长公式求得弧AC的长；
（3）在Rt△AOD中，可由正切的概念求得AD的长．

解答：解：（1）∠AOC=2∠B=60°．

（2）在△AOC中，
∵OH⊥AC，OA=OC，
∴OH是等腰三角形AOC的底边AC上的高，
∴∠AOH=

1

2

∠AOC=30°，
∴AO=

OH

cos30°

=10，
∴

AC

的长=

nπr

180

=

60×π×10

180

=

10π

3

，
∴

AC

的长是

10π

3

．

（3）∵AD是切线，
∴AD⊥OA，
∵∠AOC=60°，
∵tan60°=

AD

AO

，
∴AD=AO•tan60°=10

3

．
∴线段AD的长是10

3

．

点评：本题利用了圆周角定理，切线的概念，直角三角形和等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念，弧长公式求解．