Question

【题目】长方形中，，点和点都是从点出发，点在这个长方形的边上顺时针运动，点在这个长方形的边上逆时针运动，它们的速度都是每秒1个单位，设它们的运动时间是秒

（1）时，求线段的长；

（2）在运动过程中，连接，设线段和点所经过的路线所组成的封闭的图形面积是，求出与的函数关系式，并注明的取值范围．

（3）在上一问中，是否存在某个时刻，使得是长方形面积的一半？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

（4）当点在上运动时（不包括点），存不存在某一时刻，使得是直角三角形吗？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）存在，；（4）存在，

【解析】

（1）求出AM，AN，利用勾股定理求解即可．

（2）分两种情形：当0＜t≤4时，当4＜t＜10时，分别求解即可．

（3）根据方程解决问题即可．

（4）观察图象可知，∠MAN，∠ANM不可能是直角．当∠AMN=90°时，根据AN2=AM2+MN2，构建方程即可解决问题．

解：（1）当t=3时，AM=3，AN=3，

在Rt△ANM中，∵∠MAN=90°，

∴；

（2）当0＜t≤4时，．

当4＜t＜10时，

；

∴

（3）①若点在段，即，

∴，

即，

解得：（舍去）；

②若点在线段，即．

，

即，

解得：；

（4）当点在上运动时，∠MAN，∠ANM不可能是直角．

当时，如图：过M作MG⊥AN，

∴

由题意知，，，

∴，，，

，

；

∴满足条件的t的值为8．