Question

（2012•嘉定区二模）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB=13，CD=4，点E在边AB上，DE∥BC．
（1）若CE=CB，且tan∠B=3，求△ADE的面积；
（2）若∠DEC=∠A，求边BC的长度．

Answer 1

分析：（1）分别过点C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于点F、G，易证得四边形CDEB是平行四边形，则可求得AE的长，在Rt△BCF中，由三角函数的性质，即可求得△ADE的面积；
（2）易证得△CDE∽△DEA，由相似三角形的对应边成比例，易求得DE，则可求得边BC的长度．

解答：解：（1）分别过点C、D作CF⊥AB、DG⊥AB，交AB于点F、G．
∵AB∥CD，
∴DG=CF，
∵AB∥CD，DE∥BC，
∴四边形CDEB是平行四边形，
∴BE=CD．
∵AB=13，CD=4，
∴AE=AB-BE=13-4=9，
∵CE=CB，CF⊥BE，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

×4=2，
在Rt△BCF中，由tan∠B=3，BF=2，
∴tan∠B=

CF

BF

=3，
即

CF

2

=3，CF=6，
∴DG=CF=6．
∴S_△ADE=

1

2

AE•DG=

1

2

×9×6=27；

（2）∵AB∥CD，
∴∠CDE=∠DEA，
又∵∠DEC=∠A，
∴△CDE∽△DEA，
∴

CD

DE

=

DE

EA

，
∵AE=9，CD=4，
∴

4

DE

=

DE

9

．
∴DE²=36，DE=6（负值已舍）．
∵四边形CDEB是平行四边形，
∴BC=DE=6．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．