Question

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），另一个顶点B在第一象限内．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；
（2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”．点Q在（1）的抛物线上，且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形”，求点Q的坐标；
（3）设△OAB的外接圆⊙M，试判断（2）中的点Q与⊙M的位置关系，并通过计算说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出点B，则设抛物线的顶点式，将点A代入即得到方程式；
（2）（ⅰ）当以OA、OB为边时，作QD⊥x轴于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，从而求得点Q．（ⅱ）当以OA、AB为边时，由对称性求得Q．（ⅲ）当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形．求得点Q．
（3）点Q在⊙M内．由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是（2）中BC与OQ的交点，求得△OMC∽△OQD．从而求得点M，进而求得MQ，从而求得点Q的位置．

解答：解：（1）过B作BC⊥x轴于C．
∵等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），
∴OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°．
∴BC=OCtan60°=

3

．
∴B(1，

3

)．
设经过O、A、B三点的抛物线的
解析式为：y=a(x-1)2+

3

．
将A（2，0）代入得：a(2-1)2+

3

=0，
解得a=-

3

．
∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为y=-

3

(x-1)2+

3

．
即y=-

3

x2+2

3

x；

（2）依题意分为三种情况：
（ⅰ）当以OA、OB为边时，
∵OA=OB，
∴过O作OQ⊥AB交抛物线于Q．
则四边形OAQB是筝形，且∠QOA=30°．
作QD⊥x轴于D，QD=ODtan∠QOD，
设Q(x，-

3

x2+2

3

x)，则-

3

x2+2

3

x=xtan30°．
解得：x=

5

3

．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)．
（ⅱ）当以OA、AB为边时，由对称性可知Q(

1

3

，

5 3

9

)．
（ⅲ）当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形．
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)或(

1

3

，

5 3

9

)．

（3）点Q在⊙M内．
由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是（2）中BC与OQ的交点，
当Q(

5

3

，

5 3

9

)时，
∵MC∥QD，
∴△OMC∽△OQD．
∴

MC

QD

=

OC

OD

．
∴MC=

OC•QD

OD

=

3

3

．
∴M(1，

3

3

)．
∴MQ=

(1- 5 3 )2+( 3 3 - 5 3 9 )2

=

4 3

9

．
又BM=

2 3

3

，
∵

4 3

9

＜

2 3

3

，
∴Q(

5

3

，

5 3

9

)在⊙M内．
当Q(

5

3

，

5 3

9

)时，由对称性可知点Q在⊙M内．
综述，点Q在⊙M内．

点评：本题考查了二次函数的综合运用，（1）先求出点B，则设抛物线的顶点式，将点A代入即得到方程式；（2）（ⅰ）当以OA、OB为边时，作QD⊥x轴于D，QD=ODtan∠QOD，QD=ODtan∠QOD，从而求得点Q．（ⅱ）当以OA、AB为边时，由对称性求得Q．（ⅲ）当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形．求得点Q．（3）点Q在⊙M内．由等边三角形性质可知△OAB的外接圆圆心M是（2）中BC与OQ的交点，求得△OMC∽△OQD．从而求得点M，进而求得MQ，从而求得点Q的位置．本题有一定难度，思路性强．