Question

已知关于x的一元二次方程x² = 2(1—m)x—m²的两实数根为x₁，x₂，
【小题1】求m的取值范围；
【小题2】设y = x₁ + x₂，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值。

Answer 1

【小题1】整理原方程，得x² + 2(m—1)x + m² = 0，
∵原方程有两个实数根，
∴△= [2(m—1)]²—4×1×m² = —8m+4≥0，
解得m≤,
【小题1】∵ x₁，x₂是方程x² + 2(m—1)x + m² = 0的两个实数根，
∴ x₁ + x₂ = —2(m—1) = —2m + 2，
∵ y = x₁ + x₂，
∴ y = —2m + 2，
∵—2 < 0，
∴ y随m的增大而减小，
∵ m≤,
∴当m = 时，y取得最小值，且最小值是：y_最小=。

解析【小题1】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；
【小题1】根据根与系数的关系可得出x₁+x₂的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．