Question

已知：如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交外角∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据平行线得出∠OFC=∠DCF，根据角平分线定义得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；
（2）根据平行四边形判定得出四边形是平行四边形，求出∠FCE=90°，根据矩形判定推出即可．

解答：（1）证明：∵FC平分∠ACD，
∴∠ACF=∠DCF，
∵MN∥BD，
∴∠OFC=∠DCF，
∴∠OFC=∠ACF，
∴OF=OC，
同理OE=OC，
∴OE=OF．

（2）当O为AC中点时，四边形AECF是矩形，
证明：∵O为AC中点，
∴OA=OC，
∵OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠DCF=

1

2

∠ACD，∠ACE=∠BCE=

1

2

∠ACB，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACE=

1

2

∠ACD+

1

2

∠ACB=

1

2

×180°=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．

点评：本题考查了矩形判定，平行四边形判定，平行线性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力．