Question

铁匠王老五要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）请你帮助他算一算可以吗？
（1）请说明方案一不可行的理由；
（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据扇形的弧长等于圆的底面周长，可得能围成圆锥的正方形的对角线长，与实际正方形的对角线长比较，大于实际的正方形边长，所以不可行；
（2）设出圆锥的母线长和底面半径，让扇形的弧长等于圆的底面周长，以及正方形的对角线长联立构成方程组，即可求得圆锥的母线长及其底面圆半径．

解答：解：连接AC，E为两圆的切点，
（1）理由如下：
∵扇形的弧长=16×

π

2

=8π，圆锥底面周长=2πr，
∴圆的半径O₁E=4cm．
过O₁作O₁F⊥CD，
∴△CO₁F为等腰直角三角形，
∴O₁C=

2

O₁F=

2

O₁E=4

2

cm，
又∵AE=AB=16cm，
而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为AE+EO₁+O₁C=16+4+4

2

=20+4

2

cm，
∵20+4

2

＞16

2

，
∴方案一不可行；

（2）方案二可行．求解过程如下：
设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，
∵在一块边长为16cm的正方形纸片上，
∴正方形对角线长为16

2

cm，
则(1+

2

)r+R=16

2

，①
2πr=

2πR

4

．②
由①②，可得R=

64 2

5+ 2

=

320 2 -128

23

，r=

16 2

5+ 2

=

80 2 -32

23

．
故所求圆锥的母线长为

320 2 -128

23

cm，底面圆的半径为

80 2 -32

23

cm．

点评：本题从阅读（学习）能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生进行了全面的考查．