Question

（2012•大连二模）如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=15cm，点D以2cm/s的速度由点B向点C运动，点E同时以1cm/s的速度由点C向点B运动．当点D运动到点C时，点D、E同时停止运动，以DE为边在BC的上方作等边三角形DEF．设点D的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点F恰好落在AB上？
（2）设△DEF与△ABC重合部分的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先根据题意求得 BD=2t，CE=t．然后分当点D在点E的右侧时和当点D在点E的左侧时两种情况求得t值即可；
（2）根据题意分当0≤t≤3时和当3＜t≤

15

2

，且t≠5时两种情况列出有关S于t的函数关系式即可求解．

解答：解：（1）由题意得 BD=2t，CE=t．
①当点D在点E的右侧时（如图1），
∵△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，∠EDF=60°．
∴∠DFB=∠EDF-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DF=DB=2t．…（2分）
∵BC=CE+ED+DB  即 t+2t+2t=15，
∴t=3．…（3分）
②当点D在点E的左侧时（如图2），
由①得，DE=EF=EB=CB-CE=15-t，BD=2t，
∴DB=2BE，即2t=2（15-t），
∴t=

15

2

．
综上，当t=3s或

15

2

s时，点F恰好在AB上．…（5分）
（2）①当0≤t≤3时（如图3），
由（1）得，DE=EF=FD=15-3t=3（5-t），DH=DB=2t，
∴FH=15-3t-2t=15-5t=5（3-t）．…（6分）
∵∠DEF=∠EFD=60°，∠B=30°，
∴∠EGB=180°-∠GEB-∠B=180°-60°-30°=90°．
在Rt△FGH中，
GH=FH•sin60°=

5 3

2

(3-t)，FG=FH•cos60°=

5

2

(3-t)．
∴S△FGH=

1

2

FG•GH=

25 3

8

(3-t)2．…（7分）
作FM⊥DE，垂足为M．则FM=EF•sin60°=

3 3

2

(5-t).S△FED=

1

2

ED•FM=

9 3

4

(5-t)2，…（8分）
∴S=S_△FED-S_△FGH=-

7 3

8

t2-

15 3

4

t+

225

8

3

．…（9分）
②由题意知，点D从点B运动到点C所用时间为

15

2

s．当t+2t=15，即t=5时，点D与点E重合．由（1）知，当3＜t≤

15

2

，且t≠5时，无论点D在点E的左侧还是右侧，△DEF都在△ABC内（如图4）.S=S△FED=

1

2

DE•FM=

9 3

4

(5-t)2=

9 3

4

t2-

45 3

2

t+

225

4

3

．
综上，S=

- 7 3 8 t2- 15 3 4 t+ 225 8 3 (0≤t≤3) 9 3 4 t2- 45 3 2 t+ 225 4 3 (3＜t≤ 15 2 ，且t≠5).

点评：本题考查了相似形的综合知识，解题的关键是从复杂的几何图形中整理出相似三角形的模型并利用相似三角形的知识解决问题．