题目内容

已知抛物线y=x²+（2a-1）x+a²+3a+ $数学公式$ 与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）．
（1）求实数a的取值范围；
（2）令S=x₁²+x₂²，求S的取值范围．

解：（1）∵抛物线y=x²+（2a-1）x+a²+3a+ $\text{[math]}$ 与x轴交于点A（x₁，0），B（x₂，0）．
∴b²-4ac＞0，
即（2a-1）²-4（a²+3a+ $\text{[math]}$ ）＞0，
解得a＜-1．

（2）设方程x²+（2a-1）x+a²+3a+ $\text{[math]}$ =0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=1-2a，x₁•x₂=a²+3a+ $\text{[math]}$ ，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（1-2a）²-2（a²+3a+ $\text{[math]}$ ）=2（a- $\text{[math]}$ ）²-20，
∵a＜-1，
∴（a- $\text{[math]}$ ）²＞ $\text{[math]}$ ，
∴2（a- $\text{[math]}$ ）²-20＞ $\text{[math]}$ ，
即S＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意得出抛物线和x轴有两个交点，即b²-4ac＞0，从而得出的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂，与x₁•x₂，再由完全平方公式的变形即可得出S的取值范围．
点评：本题考查了抛物线和轴的交点问题，以及一元二次方程与二次函数的关系、完全平方公式的应用，是中考压轴题，难度较大．

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