Question

（1）如图1，点P是正方形ABCD内的一点，把△ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q．若PA=3，PB=2，PC=5，求∠BQC的度数．

（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12，PB=5，PC=13，求∠BPA的度数．

Answer 1

              解：（1）连接PQ．

由旋转可知：，QC=PA=3．

又∵ABCD是正方形，

∴△ABP绕点B顺时针方向旋转了90°，才使点A与C重合，

即∠PBQ=90°，

∴∠PQB=45°，PQ=4．

则在△PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，

∴PC²=PQ²+QC²．

即∠PQC=90°．

故∠BQC=90°+45°=135°．

（2）将此时点P的对应点是点P′．

由旋转知，△APB≌△CP′B，即∠BPA=∠BP′C，P′B=PB=5，P′C=PA=12．

又∵△ABC是正三角形，

∴△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，才使点A与C重合，

得∠PBP′=60°，

又∵P′B=PB=5，

∴△PBP′也是正三角形，即∠PP′B=60°，PP′=5．

因此，在△PP′C中，PC=13，PP′=5，P′C=12，

∴PC²=PP′²+P′C²．

即∠PP′C=90°．

故∠BPA=∠BP′C=60°+90°=150°．