Question

如图，抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB=45°？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将直线AC沿x轴的正方向平移，平移后的直线交y轴于点M，交抛物线于点N，问是否存在M、N使四边形ACMN为等腰梯形？若存在，求出M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0）、B两点，交y轴于C（0，3）；
∴将A（1，0），C（0，3），代入解析式即可求出：
0=a-4a+b，b=3，
∴a=1，
y=x²-4x+3；

（2）设P（m，n），
∵B点坐标为：（3，0），C点坐标为：（0，3），
∴CO=BO=3，
∴∠OCB=45°，
∵要使∠PCB+∠ACB=45°，
∴∠OCA=∠PCB，
∴cos∠OCA=cos∠PCB，
∵OA=1，OC=3，
∴cos∠OCA=，
∴PC=，PB=，
BC=3，
cos∠PCB==，
解得m=或m=2，即n=或n=-1，
、P₂（2，-1）；

（3）作MN∥AC，CE⊥MN，AF⊥MN，QN⊥BO，
∴四边形CAFE是矩形，
∴∠CME=∠OCA，
∵∠OCA+∠CAO=90°，
∠MCE+∠OCA=90°，
∴∠MCE=∠CAO，
同理可得：要使四边形ACMN为等腰梯形，
∴∠CME=∠ANF，
∵AC∥MN，
∴直线MN的解析式可以设为：y=-3x+3+k，
联立y=x²-4x+3；
得出两图象在第四象限交点的横坐标为：，
分别代入两函数解析式即可得出：纵坐标为：+k-，
∴AQ=-1=，
QN=+k-，
∵MC=AN，
∴MC²=AQ²+QN²，
∴k²=（）²+（+k-）²，
解得：k=，
∴OM=+3=，
=，+k-=-，
故此时：；．
分析：（1）根据抛物线y=ax²-4ax+b交x轴于A（1，0），交y轴于C（0，3），直接求出即可；
（2）利用三角形对应角之间的关系得出；
（3）根据等腰梯形的性质得出∠CME=∠ANF，进而求出CM的长，以及M，N点的坐标．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及等腰梯形的性质，题目综合性较强，难度较大，需细心分析得出．