Question

如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明；
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积；
（3）本问是运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ的运动过程：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形．
解答：（1）证明：∵矩形EFPQ，
∴EF∥BC，∴△AHF∽△ADC，∴，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，
∴．

（2）解：∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC-BD=5-4=1．
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴，
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴，
∴，即，∴EH=4HF，
已知EF=x，则EH=x．
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD-QD=BD-EH=4-x．
S_矩形EFPQ=EF•EQ=x•（4-x）=-x²+4x=-（x-）²+5，
∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5．

（3）解：由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为4-×=2．
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H₁，D₁．
此时DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD-DD₁=2-t，HH₁=H₁D₁-HD₁=t，AH₁=AH-HH₁=2-t，．
∵KN∥EF，∴，即，得KN=（2-t）．
S=S_梯形KNFE+S_矩形EFP1Q1
=（KN+EF）•HH₁+EF•EQ₁
=[（2-t）+]×t+（2-t）
=t²+5；
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示．

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D₂．
此时DD₂=t，AD₂=AD-DD₂=4-t，
∵KN∥EF，∴，即，得KN=5-t．
S=S_△AKN
=KN•AD₂
=（5-t）（4-t）
=t²-5t+10．
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=．
点评：本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多，有一定的难度．难点在于第（3）问，弄清矩形的运动过程是解题的关键．