Question

【题目】（1）如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°，连接AC，BD

交于点M．

①的值为 ；②∠AMB的度数为 °；

（2）如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．求的值及∠AMB的度数；

（3）在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD=，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．

Answer 1

【答案】（1）①1；②50；（2），；（3）6或9

【解析】

（1）①由SAS可证△COA≌△DOB，进而即可得到结论；②由全等三角形的性质，得∠CAO=∠DBO，结合三角形内角和定理，即可求解；

（2）由，，可得，进而即可得到结论；

（3）分两种情况：①当点C与点M重合时，如图3；②当点C与点M重合时，如图4，分别求出AC的长，即可．

（1）①∵∠AOB=∠COD=50°，
∴∠COA=∠DOB，
∵OC=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC=BD，

∴=1；

②∵△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，
∵∠AOB=50°，
∴∠OAB+∠ABO=130°，
∴在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-130°=50°，

故答案是：1 ，50；

（2）∵，，

∴，

同理，

∴，

∵，

∴，

即，

∴，

∴，，

∴；

（3）①当点C与点M重合时，如图3，同理得：△AOC∽△BOD，
∴∠AMB=90°，，

设BD=x，则AC=x，
∵Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=，
∴CD=2，BC=x-2，
Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，
∴AB=2OB=2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+(x2)2＝(2)2，即：x2-x-18=0，
解得：x1=3，x2=-2（舍去），
∴AC=3×=9；

②当点C与点M重合时，如图4，同理得：∠AMB=90°，，
设BD=x，则AC=x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴(x)2+（x+2）2=(2)2，即：x2+x-18=0，

解得：x1=2，x2=-3（舍去），
∴AC=2×=6；
综上所述，AC的长为9或6．

，