题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+n与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求B点坐标；
（2）直线 $数学公式$ 经过点B．
①求直线和抛物线的解析式；
②点P在抛物线上，过点P作y轴的垂线l，垂足为D（0，d）．将抛物线在直线l上方的部分沿直线l翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G．请结合图象回答：当图象G与直线 $数学公式$ 只有两个公共点时，d的取值范围是______．

解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为：x=- $\text{[math]}$ =1．
∵抛物线与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-2，0），
∴点B的坐标为（4，0）；

（2）①

∵点B在直线 $\text{[math]}$ 上，
∴0=2+4m+n 1)．
∵点A在二次函数y=mx²-2mx+n的图象上，
∴0=4m+4m+n 2)．
由1)、2)可得m= $\text{[math]}$ ，n=-4．
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ ，直线的解析式为y= $\text{[math]}$ ．

②翻折图象即是FDP直线下方的图象．要使得直线 $\text{[math]}$ y=x-2与新图象G仅有两个交点，须保证点P在直线下方，而点F在直线上方．
最低点G（1，- $\text{[math]}$ ）．点D为（0，d），把- $\text{[math]}$ ≤y=d＜0代入原抛物线方程y= $\text{[math]}$ x²-x-4=d，
解得：x₁=1- $\text{[math]}$ ，即点F的横坐标，
x₂=1+ $\text{[math]}$ ，即点P的横坐标
所以：d＞y₁= $\text{[math]}$ x₁-2= $\text{[math]}$ （1- $\text{[math]}$ ）-2，即： $\text{[math]}$ ＞-（2d+3）…（a）
d＜y₂= $\text{[math]}$ x₂-2= $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）-2，即： $\text{[math]}$ ＞2d+3…（b）
当2d+3≤0即- $\text{[math]}$ ≤d≤- $\text{[math]}$ 时，（b）成立，（a）两边平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：- $\text{[math]}$ ＜d＜- $\text{[math]}$ ；
当2d+3≥0即- $\text{[math]}$ ≤d＜0时，（a）成立，（b）两边平方整理得：
2d²+5d＜0，解得：- $\text{[math]}$ ≤d＜0
综上所述：- $\text{[math]}$ ＜d＜0．

分析：（1）先根据对称轴公式求得抛物线的对称轴为：x=- $\text{[math]}$ =1．依此即可求得B点坐标；
（2）①将B点坐标分别代入抛物线y=mx²-2mx+n和直线 $\text{[math]}$ ，得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，从而得到直线和抛物线的解析式；
②要使得直线 $\text{[math]}$ y=x-2与新图象G仅有两个交点，须保证点P在直线下方，而点F在直线上方，分析即可求解．
点评：本题是一道一次函数与二次函数的综合试题，考查了二次函数与坐标轴的交点坐标的运用，轴对称的性质的运用，解答时根据函数之间的关系建立方程是解答本题的关键．