Question

如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？
（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的值．

Answer 1

（1）证明略
（2）当或时，ΔPQW为直角三角形
（3）2解析:
解：（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点，
∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN
∴ΔFMN∽ΔQWP------3分
(2)由(1)得，ΔFMN∽ΔQWP，故当ΔQWP为直角三角形时，ΔFMN为直角三角形，反之亦然.
由题意可得  DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分别得 =，=+，=+16-----5分
①当=+时，+=++
解得 -----6分
②当=+时，+=++
此方程无实数根----7分
③=+时，=+++
解得 （不合题意，舍去），------8分
综上，当或时，ΔPQW为直角三角形；------9分
（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6-x，
故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小,此时MN=2，MN2="4" -----10分
②当4＜x≤6时，=+=+
=
当x=5时，MN2取得最小值2，
∴当x=5时， MN２的值最小，此时MN２=2．-------12分