题目内容

如图，正方形ABCD的边长为6，F是边DC上的一点，且DF：FC=1：2，E为BC的中点，连接AE、AF、EF，求：
（1）△AEF的周长；
（2）△AEF的面积．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，BC=CD=AD=AB=6，
∵DF：FC=1：2，
∴DF=2，FC=4，
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=3，
在Rt△ADF中：AF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
在Rt△FCE中：EF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，
在Rt△ABE中：AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=2 $\text{[math]}$ +5+3 $\text{[math]}$ ；

（2）过A作AM⊥EF，
设MF=x，则ME=5-x，
∵AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，
∴40-x²=45-（5-x）²，
解得：x=2，
∴AM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =6，
∴△AEF的面积是： $\text{[math]}$ •EF•AM= $\text{[math]}$ ×5×6=15．
分析：（1）首先根据题中的条件计算出线段DF、FC、EC、BE的长，再利用勾股定理分别计算出△AEF的三边长，即可求出△AEF的周长；
（2）过A作AM⊥EF，设MF=x，则ME=5-x，根据勾股定理可知AM²=AF²-MF²=AE²-EM²，代入相应数值可以求出MF的长，进而可以求出△AEF的高AM的长，再利用三角形面积公式算出△AEF的面积．
点评：此题主要考查了正方形的性质，以及勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，此题的难点是求△AEF的面积，解决问题的突破口是作出△AEF的高，设出未知数，算出FM的长度．