Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D．
求证：AC²=AD•AB．

Answer 1

分析：求出∠DCO=∠ACB，求出∠OCB=∠DCA=∠B，∠ADC=∠ACB，推出△ADC∽△ACB，得出比例式，即可得出答案．

解答：证明：
连接OC，BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠BCA=90°，
∵DE切⊙O于C，
∴∠DCO=90°，
∴∠DCO-∠OCA=∠BCA-∠OCA，
∴∠DCA=∠OCB，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∴∠B=∠DCA，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AC

AB

=

AD

AC

，
∴AC²=AD•AB．

点评：本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，关键是推出△ADC∽△ACB．