Question

已知抛物线y=-x²+2mx-m²+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P。
（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围。

Answer 1

解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a）， 设P（1，n）据x=-，得A点的横坐标为m，即m=2， 所以y=x2+4x-2，把P点的坐标代入得n=1， 即P点的坐标为（1，1）；
（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2， 可知A（m，2）， 设C（n，2）， 把n代入y=-（x-m）2+2得y=-（n-m）2+2， 所以P（n，-（n-m）2+2） ∵AC=CP ∴m-n=2+（m-n）2-2， 即m-n=（m-n）2， ∴m-n=0或m-n=1， 又∵C点不与端点A、B重合 ∴m≠n， 即m-n=1， 则A（m，2），P（m-1，1） 由AC=CP可得BE=AB ∵OB=2 ∴OE=2-m， ∴△OPE的面积S=（2-m）（m-1）=-（m-）2+（1＜m＜2）， ∴0＜S＜。