Question

6．如图，已知边长为4的正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（O不与A，E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM，ON．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）问OB为何值时，⊙O经过AD的中点？
（3）△DMN的周长是否一个定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得到∠ABC=90°，根据切线的判定即可证得结论；
（2）设OB=OM=x．则AO=4-x，AM=2，根据勾股定理得x²=2²+（4-x）²，解方程即可求得结论；
（3）如图，作BP⊥MN于点P，根据切线的想知道的∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB，∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB，根据平行线的性质得到∠CBM=∠AMB，于是得到∠AMB=∠PMB，根据切线的性质得到AM=MP，BP=AB=BC，PN=CN，于是得到结论．

解答 解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵OB为半径，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵正方形ABCD，
∴∠A=90°，AB=AD=4，
∵M是AD的中点，
设OB=OM=x．则AO=4-x，AM=2，
在Rt△AOM中，x²=2²+（4-x）²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴OB=$\frac{5}{2}$时，⊙O经过AD的中点；

（3）如图，作BP⊥MN于点P，
∵MN，BC是⊙O的切线，
∴∠PMB=$\frac{1}{2}$∠MOB，∠CBM=$\frac{1}{2}$∠MOB，
∵AD∥BC，
∴∠CBM=∠AMB，
∴∠AMB=∠PMB，
在Rt△MAB和Rt△MPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPM=∠BAM}\\{∠PMB=∠AMB}\\{BM=BM}\end{array}\right.$
∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）
∴AM=MP，BP=AB=BC，
在Rt△BPN和Rt△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=BC}\\{BN=BN}\end{array}\right.$
∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）
∴PN=CN，
MN=MP+PN=AM+CN，
∴DM+DN+MN=DM+DN+AM+CN=（AM+DM）+（DN+CN）=AD+DC=8，
故△DMN的周长是一个定值8．

点评 本题是圆的综合题目，考查了切线的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，方程，全等三角形的判定与性质等知识；本题主要考查了圆的切线及全等三角形的判定和性质，关键是作出辅助线利用三角形全等证明．