Question

如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC。

   (1) 试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论。

   (2) 将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC。你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

 

Answer 1

(1) 答：AE⊥GC。

　　 [证明] 延长GC交AE于点H。在正方形ABCD与正方形

　　　　　 DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，

　　　　　 ∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2，∵∠2+∠3=90°，

　　　　　 ∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°

　　　　　 =90°，∴AE⊥GC。

　 (2) 答：成立。

　　 [证明] 延长AE和GC相交于点H。在正方形ABCD与

　　　　　 正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，

　　　　　 ∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，

　　　　　 ∴∠∴△ADE1=∠2=90°-∠3，≌△CDG，

　　　　　 ∴∠5=∠4，又∵∠5+∠6=90°，

　　　　　 ∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，

　　　　　 又∵∠6+∠AEB=90°∴∠AEB=∠CEH，

　　　　　 ∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊿GC。