题目内容
1、如图所示．在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分．
分析：由题中条件可得Rt△ABE≌Rt△CDF，从而在Rt△ABE与Rt△CDF中，由于DN=BM，所以可得到ME=FN，进而再由△MAF≌△NCE，得出MF=NF，即四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
解答：证明：连接ME，EN，NF，FM．
因为ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，且AD=BC，AB∥CD，且AB=CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF．
所以Rt△ABE≌Rt△CDF（HL，或AAS），BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN（SAS），
ME=NF．①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，
所以△MAF≌△NCE（SAS），
所以MF=NF．②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
因为ABCD是平行四边形，
所以AD∥BC，且AD=BC，AB∥CD，且AB=CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而AE=CF．
所以Rt△ABE≌Rt△CDF（HL，或AAS），BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN（SAS），
ME=NF．①
又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，
所以△MAF≌△NCE（SAS），
所以MF=NF．②
由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质及判定问题，能够熟练运用平行四边形的性质求解一些简单的计算、证明问题．
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