Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，过 A、B、D三点的圆交CB的延长线于点E.

（1）求证：AE=CE；

（2）若EF与过 A、B、D三点的圆相切于点E，交AC的延长

线于点F，若CD=CF=2cm，求过 A、B、D三点的圆的直径。

Answer 1

解：（1）证明：连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，

∴AE是过 A、B、D三点的圆的直径．          

∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．

又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．

∴AE=CE．                                  

（2）∵CD=CF=2cm，∴AF=AC+CF=6cm.

∵EF与过 A、B、D三点的圆相切于点E，http://w w w.xkb1. co m

∴∠AEF=90°=∠ADE，

又∵∠DAE=∠FAE，∴△ADE∽△EFA．        

∴，即． ∴AE=2cm．