Question

二次函数y=ax²+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下所示，相应图象如图所示，结合表格和图象回答下列问题：

x	┅	-1	3	3	┅
y=ax2+bx+c	┅	m	m	5	┅

（1）抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=

1

；
（2）方程ax²+bx+c=0的两根是x₁=

4

，x₂=

-2

；
（3）求出二次函数y=ax²+bx+c的解析式及m的值；
（4）求当方程ax²+bx+c=k有解时k的取值范围．（结合图形直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）根据表中x、y的对应值可知，当x=-1与x=3时y的值相等，所以此两点关于抛物线的对称轴对称，由中点坐标公式即可得出对称轴的直线方程；
（2）由（1）中抛物线的对称轴即可得出抛物线与x轴另一交点的坐标，故可得出结论；
（3）把（3，5），（-2，0），（4，0）代入二次函数y=ax²+bx+c即可求出abc的值，进而得出函数的解析式，把x=-1代入即可求出m的值；
（4）根据（3）中抛物线的解析式求出其顶点坐标即可得出k的取值范围．

解答：解：（1）∵由表中x、y的对应值可知，当x=-1与x=3时y的值相等，
∴对称轴是直线x=

-1+3

2

=1，
故答案为1；

（2）∵抛物线的对称轴是x=1，与x轴的一个交点是（4，0），
∴设抛物线与x轴的另一个交点a，则

a+4

2

=1，解得a=-2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），
∴ax²+bx+c=0的两根是x₁=4，x₂=-2；
故答案为：4，-2；

（3）∵（3，5），（-2，0），（4，0）均在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴

9a+3b+c=5 4a-2b+c=0 16a+4b+c=0

，解得

a=-1 b=2 c=8

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+8，
∵当x=-1时y=m，
∴m=-1-2+8=5；
 
（4）∵由（3）知抛物线的解析式为y=-x²+2x+8，
∴其顶点坐标为：（1，9），
∴当方程ax²+bx+c=k有解时k的取值范围是k≤9．

点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数与一元二次方程的关系是解答此题的关键．