Question

【题目】如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线（a＜0）经过点B．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．

①写出点M′的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=，当m=时，S取得最大值；（3）①M′（，）；②45°．

【解析】

试题分析：（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；

（2）设M的坐标为（m，），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；

（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；

②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．

试题解析：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B（0，3）代入，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：；

（2）令y=0代入，∴，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y=0代入y=﹣3x+3，∴x=1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，），S=S四边形OAMB﹣S△AOB

=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB=×m×3+×1×（）﹣×1×3=，∵S==，∴当m=时，S取得最大值．

（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；

②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′=90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG=x，∴由勾股定理可得：，∴，∴x=，cos∠M′BG==，∵l1∥l′，∴∠BCA=90°，∠BAC=45°；

方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M点作ME垂直于l′于E点，则BD=d1，ME=d2，∵S△ABM=×AC×（d1+d2），当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM时取得最小值．

根据B（0，3）和M′（，）可得BM′=，∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC=，当AC⊥BM′时，cos∠BAC===，∴∠BAC=45°．