Question

已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.

（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，并证明你的结论.

（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？       （填：成立或不成立）.

（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.

 

Answer 1

 

（1）见解析

（2）成立

（3）见解析

解析:（1）PE＝PD，……………………………..(1分)

PE⊥PD   ……………………………..(2分)

①   点E在射线BC边上,且交点P在对角线AC上时,连结PB

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP。

又∵AP＝AP，∴△BAP≌△DAP（SAS）。

∴PB＝PD

∵点P在BE的垂直平分线上

∴PB=PE

∴PE＝PD      

∵△BAP≌△DAP，∴∠DPA＝∠APB.

又∵∠APB＝180°－45°－∠ABP＝135°－∠ABP，

∴∠DPA＝135°－∠ABP。

又∵PE＝PB，∴∠BPE＝180°－2∠PBE

∴∠DPE＝360°－∠DPA－∠APB—∠BPE＝360°－2（135°－∠ABP）

－180°+2∠PBE  ＝360°－270°+2∠ABP－180°+2∠PBE=90°

∴PE⊥PD                           ………………………..(3分)

② P、C两点重合

                   ………………………..(4分)

③ 当点E在BC边的延长线上且点P在对角

线AC的延长线上时,连结PB

同理可证∴△BAP≌△DAP（SAS）。

∴ PB=PD

∴∠PBA=∠PDA

∴∠PBE=∠PDC

∵点P在BE的垂直平分线上

∴PB=PE

∴∠PBE=∠PEB

∴∠PDC=∠PEB

∴∠DFC=∠EFP

∴∠EPF =∠DCF=90°

∴PE⊥PD                …………………………………………..(5分)

结论成立         

（3）（1）中的猜想不成立.              …………………………..(6分)

（4） ①当点P在线段AC上时

∵四边形ABCD是矩形，AB=6

∴DC=AB=6

∴∠ABC=∠ADC=90°

∵cos∠ACD= 

∴AD=8，AC=10

作PQ⊥BC于点Q

∴PQ∥AB

∴=

∴=

∴BQ=x, ∴BE=x,∴CE=x－8

∴△CPQ∽△CAB

∴=  ∴=

∴PQ=6-x

∴y=EC×PQ

=(x－8)( 6-x)

=-x²+x-24(5<x<10)          ……………………………..(7分)

②当点P在线段AC的延长线上时

∵PQ∥AB

∴△CPQ∽△CAB

 

∴=

∴=

∴PQ=x-6

∴=

∴=

∴CQ=x-8

∴BQ=x

∴BE=x

∴EC=x-8

∴y =EC×PQ

=(x－8) (x-6)

= -x+24(x>10)   ………………………………………..(8分)

 

[注]学生正确答案与本答案不同，请老师们酌情给分。