Question

【题目】如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，求证：△BPE∽△CEQ；

（2）如图①，当点Q在线段AC上，当AP=4，BP=8时，求P、Q两点间的距离；

（3）如图②，当点Q在线段CA的延长线上，若BP=2a，CQ=9a，求PE：EQ的值，并直接写出△EPQ的面积 （用含a的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PQ=5；（3）a2．

【解析】

试题分析：（1）由△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，得到∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可证得：△BPE∽△CEQ；

（2）连接PQ．根据△BPE∽△CEQ，得到对应边成比例，计算得到CQ=9，AQ=3，由勾股定理可得PQ=5；

（3）根据△BPE∽△CEQ，得到=，求出BE=CE=3a，计算即可求出PE：EQ的值，连接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，根据等腰直角三角形的性质求出QE、PG，根据三角形的面积公式计算即可．

（1）证明：连接PQ，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴∠1+∠2=135°，

∵△DEF是等腰直角三角形，

∴∠3=45°，

∴∠1+∠4=135°，

∴∠2=∠4，

∵∠B=∠C=45°，

∴△BPE∽△CEQ；

（2）∵AP=4，BP=8，

∴AB=AC=12，

∴BC=12，

∵由（1）知，△BPE∽△CEQ，

∴=，

∴=，

∴CQ=9，

∴AQAC﹣CQ=3，又AP=4，

∴PQ=5；

（3）∵△BPE∽△CEQ，

∴=，即=，

解得，BE=CE=3a，

∴PE：EQ=BP：CE=：3，

如图②，连接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，

∵∠B=45°，BP=2a，

∴PH=BH=a，又BE=3a，

∴HE=2a，

∴PE==a，

∴PG=GE=a，

∵PE：EQ=：3，

∴QE=3a，

∴△EPQ的面积=×QE×PG=a2．