Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E是斜边BC上两动点，∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后得到△AFB，连接EF．下列结论：
①△AED≌△AEF，②△ABE∽△ACD，③BE+CD＞DE，④cos∠BEF=．
一定成立的有    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根据等腰直角三角形的性质，可求得顶角与底角的度数；根据旋转的性质，可得对应角与对应边相等；根据全等三角形的判定定理即可求得①正确；
当∠1=∠3时，△ABE∽△ACD，由此可以推知②不一定正确；
根据勾股定理与等量代换可得③正确；
由①中的全等三角形的性质推知EF=ED，则根据余弦三角函数的定义证得④正确．
解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ABC=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，即∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴∠4=∠3，AF=AD，
∴∠EAF=∠1+∠4=∠1+∠3=45°，
∴∠EAF=∠2，
①∵在△AED与△AEF中，
，
∴△AED≌△AEF（SAS），
故①正确；

②当∠1≠∠3时，△ABE∽△ACD不成立．故②错误；

③由△AED≌△AEF知DE=EF．
根据旋转的性质知，∠5=∠C=45°，
∴∠FBE=∠5+∠ABC=90°，
∴根据勾股定理得到BE²+BF²=EF²，即BE²+BF²=DE²，
∵BE＞EF-BF，即BE＞DE-BF
∴BE²+DC²=DE²；
∴BE+DC＞DE．
故③正确；

④由①知△AED≌△AEF，则DE=EF．
∵∠FBE=90°，
∴cos∠BEF==，即cos∠BEF=．
故④正确．
综上所述，正确的选项是：①③④．
故填：①③④．
点评：此题考查了相似三角形的判定定理、全等三角形的判定定理、等腰直角直角三角形的性质以及旋转的性质．此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析．