Question

计算

(34+4)(74+4)(114+4)(154+4)…(394+4)

(54+4)(94+4)(134+4)(174+4)…(414+4)

=

 

．

Answer 1

分析：首先分式

(34+4)(74+4)(114+4)(154+4)…(394+4)

(54+4)(94+4)(134+4)(174+4)…(414+4)

，都含有x⁴+4的形式．因而对x⁴+4进行因式分解，转化为[（x+1）²+1][（x-1）²+1]形式．套用该规律，将各数代入，将原式写为

(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)…(382+1)(402+1)

(42+1)(62+1)(82+1)(102+1)…(402+1)(422+1)

=

22+1

422+1

=

1

353

，通过分子、分母约分化简，即可求得结果．

解答：解：x⁴+4=（x²+2）²-（2x）²=（x²+2x+2）（x²-2x+2）=[（x+1）²+1][（x-1）²+1]，
∴原式=

(22+1)(42+1)(62+1)(82+1)…(382+1)(402+1)

(42+1)(62+1)(82+1)(102+1)…(402+1)(422+1)

=

22+1

422+1

=

1

353

．
故答案为：

1

353

．

点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是找到题目中蕴含的共性规律x⁴+4=（x²+2）²-（2x）²=（x²+2x+2）（x²-2x+2）=[（x+1）²+1][（x-1）²+1]．