Question

如图，矩形EFGD的边EF在△ABC的BC边上，顶点D、G分别在边AB、AC上、已知AB=AC=5，BC=6，设BE=x，S_矩形EFGD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）连接EG，当△GEC为等腰三角形时，求y的值．

Answer 1

分析：（1）易证得△BDE≌△CGF，则BE=FC=x，那么EF=6-2x；可过A作BC的垂线，设垂足为M，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得BM、CM的长，进而由勾股定理求得AM的长；易知△CGF∽△CAM，通过相似三角形的成比例线段即可求得GF的表达式，根据矩形的面积即可得到y、x的函数关系式；
（2）Rt△EFG中，由勾股定理可求出EG的表达式；同理可在Rt△CFG中得到CG的表达式；
由于△GEC的腰和底不确定，所以要分三种情况讨论：
①CE=CG，②EG=EC，③CG=GE；
根据上述三种情况得出的三个不同的关于x的方程，即可求得x的值，再将其代入（1）的函数关系式中，即可求得y的值．（需注意x的值应符合（1）的自变量的取值范围）

解答：解：（1）过A作AM⊥BC于M；
Rt△AMC中，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴CM=

1

2

BC=3，AC=5；
由勾股定理，得AM=

AC2-CM2

=4；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEB=∠GFC=90°，DE=FG；
∴△DEB≌△GFC；
∴BE=FC=x；
易知GF∥AM，则△CFG∽△CMA；
∴

CF

CM

=

GF

AM

，即GF=CF•AM÷CM=

4

3

x；
∴y=（6-2x）×

4

3

x=-

8

3

x²+8x；（0＜x＜3）

（2）Rt△EFG中，FG=

4

3

x，EF=6-2x，则EG²=

16

9

x²+（6-2x）²=

52

9

x²-24x+36；
Rt△CGF中，易知CG=

5

3

x，即CG²=

25

9

x²；
EC=6-x，则EC²=（6-x）²=36-12x+x²；
①当EG=CG时，EF=FC，即6-2x=x，x=2；此时y=（6-2x）×

4

3

x=

16

3

；
②当EG=CE时，EG²=CE²，即

52

9

x²-24x+36=36-12x+x²，解得x=0（舍去），x=

108

43

；
此时y=（6-2x）×

4

3

x=

6048

1849

；
③当CG=CE时，CG²=CE²，即

25

9

x²=36-12x+x²，解得x=

9

4

，x=-9（舍去）；
此时y=（6-2x）×

4

3

x=

9

2

．
故当△CEG是等腰三角形时，y的值为：

16

3

或

6048

1849

或

9

2

．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，还考查了分类讨论的数学思想．