Question

（2013•瑞安市模拟）如图，在直角坐标系中，点C（

3

，0），点D（0，1），CD的中垂线交CD于点E，交y轴于点B，点P从点C出发沿CO方向以每秒2

3

个单位的速度运动，同时点Q从原点O出发沿OD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求出点B的坐标；
（2）当t为何值时，△POQ与△COD相似？
（3）当点P在x轴负半轴上时，记四边形PBEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（4）在点P、Q的运动过程中，将△POQ绕点O旋转180°，点P的对应点P′，点Q的对应点Q′，当线段P′Q′与线段BE有公共点时，抛物线y=ax²+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x轴正半轴交于点M．由已知，直接写出：①a的取值范围为

-16≤a≤-2

；②点M移动的平均速度是

每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位

．

Answer 1

分析：（1）先在直角△ODC中，由勾股定理求出DC=2，根据BE是DC的中垂线，得出DE=1，∠DEB=90°，再利用ASA证明△DEB≌△DOC，由全等三角形对应边相等得出BD=DC=2，则BO=1，进而求出B的坐标；
（2）由于点Q在线段OD上运动的时间为1秒，而点P用

1

2

秒从C点运动到O点，则余下的

1

2

秒从O点运动到C关于y轴的对称点处，所以根据P点的不同位置分两种情况进行讨论：①当点P在x轴的正半轴上时，由于∠POQ=∠COD=90°，所以当△POQ与△COD相似时，又有两种情况，

OP

OD

=

OQ

OC

或

OP

OC

=

OQ

OD

，用含t的代数式分别表示OP，OQ，列出关于t的比例式，解出即可；②当点P在x轴的负半轴上时，同①可求；
（3）当点P在x轴负半轴上时，根据四边形PBEQ的面积为S=S_△PQB+S_△EQB，用含t的代数式代入即可求出S关于t的函数关系式，根据点P在x轴负半轴上及当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动即可求出自变量的取值范围；
（4）①当P'Q'与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，则OP′=OP=OA，得出方程2

3

t-

3

=

3

3

，求出t=

2

3

，终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，所以

2

3

≤t≤1．
再设P'Q'的中点为F，求出t=

2

3

时，F1(

3

6

，-

1

3

)，把(

3

6

，-

1

3

)代入y=ax²+1，求得a=-16．当t=1时，同理求得a=-2，从而得出a的取值范围为：-16≤a≤-2；
②根据初始位置的抛物线为y=-16x²+1，求出M1(

1

4

，0)，根据终止位置的抛物线为y=-2x²+1，求出M2(

2

2

，0)，则M1M2=

2

2

-

1

4

，又移动的时间为

1

3

秒，根据速度=路程÷时间即可求出点M移动的平均速度为每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位．

解答：解：（1）由题意得：OD=1，OC=

3

，由勾股定理得：DC=2．
∵BE是DC的中垂线，
∴DE=1，∠DEB=90°．
在△DEB与△DOC中，

∠BED=∠COD=90° DE=DO ∠EDB=∠ODC

，
∴△DEB≌△DOC（ASA），
∴BD=DC=2，
∴BO=1，
∴B（0，-1）；

（2）分两种情况：
①当点P在x轴的正半轴上时，
由已知得，CP=2

3

t，OP=CO-CP=

3

-2

3

t，OQ=t．
由题意得：

OP

OD

=

OQ

OC

或

OP

OC

=

OQ

OD

，
即：

3 -2 3 t

1

=

t

3

或

3 -2 3 t

3

=

t

1

，
解得t=

3

7

或t=

1

3

；
②当点P在x轴的负半轴上时，
由题意得：

OP

OD

=

OQ

OC

或

OP

OC

=

OQ

OD

，
即：

2 3 t- 3

1

=

t

3

或

2 3 t- 3

3

=

t

1

，
解得t=

3

5

或t=1．
综上所述：当t=

3

7

或t=

1

3

或t=

3

5

或t=1时，△POQ与△COD相似；

（3）S=S_△PQB+S_△EQB=

1

2

(1+t)(2

3

t-

3

)+

1

2

(1+t)

3

2

=

3

t2+

3 3

4

t-

3

4

，
即S关于t的函数关系式为：S=

3

t2+

3 3

4

t-

3

4

，
∵点P在x轴负半轴上，
∴t＞

1

2

，
又∵当点Q到达点D时，点P，Q同时停止运动，而点Q运动时间为1秒，
∴t≤1，
∴自变量t的取值范围为：

1

2

＜t≤1；

（4）①当P'Q'与BE有公共点时，初始位置点P′与点A重合，A为BE与x轴的交点．
由已知得，OA=

3

3

，OP′=OP=2

3

t-

3

，
∴2

3

t-

3

=

3

3

，
∴t=

2

3

，
终止位置点P′与点C重合，点Q′与点B重合，这时t=1，
∴

2

3

≤t≤1．
设P'Q'的中点为F，当t=

2

3

时，F1(

3

6

，-

1

3

)．
把(

3

6

，-

1

3

)代入y=ax²+1，得：a=-16．
当t=1时，F2(

3

2

，-

1

2

)，
把(

3

2

，-

1

2

)代入y=ax²+1，得：a=-2，
∴a的取值范围为：-16≤a≤-2；
②初始位置的抛物线为y=-16x²+1，此时M1(

1

4

，0)，
终止位置的抛物线为y=-2x²+1，此时M2(

2

2

，0)，
∴M1M2=

2

2

-

1

4

，
∵移动的时间为

1

3

秒，
∴点M移动的平均速度为每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位．
故答案为-16≤a≤-2；每秒(

3 2

2

-

3

4

)个单位．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到勾股定理，全等三角形、相似三角形的判定与性质，四边形的面积，二次函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强，有一定难度．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．