Question

已知：如图，扇形OAB和扇形OA′B′的圆心角相同，设AA′=BB′=d．

AB

=l₁，

A′B′

=l₂．
求证：图中阴影部分的面积S=

1

2

(l1+l2)d．

Answer 1

分析：设∠AOB=n°，OA′=OB′=r，根据弧长公式用l₁，l₂表示出r，再根据S_阴影=S_扇形OAB-S_{扇形OA′B′}进行计算即可得出结论．

解答：证明：设∠AOB=n°，OA′=OB′=r，
∵

AB

=l₁，

A′B′

=l₂．
∴l₁=

nπ(r+d)

180

，l₂=

nπr

180

，
∴

l1

l2

=

r+d

r

，
∴r=

l2d

l1-l2

①，
∵S_阴影=S_扇形OAB-S_{扇形OA′B′}=

1

2

l₁（r+d）-

1

2

l₂r=

1

2

（l₁r+l₁d-l₂r）
=

1

2

[（l₁-l₂）r+l₁d]
=

1

2

[（l₁-l₂）×

l2d

l1-l2

+l₁d]
=

1

2

（l₂d+l₁d）
=

1

2

（l₁+l₂）d．

点评：本题考查的是扇形面积的计算及弧长公式，根据弧长公式用l₁，l₂表示出r的值是解答此题的关键．