题目内容

在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC=8，BD=15，中位线长为 $数学公式$ ，△AOB的面积为S₁，△COD的面积为S₂，则 $数学公式$ =________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据题意画出图形，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，易得四边形ABEC是平行四边形，△BDE为直角三角形，又由设S_△EBD=S，可得△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解答：

解：过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，
∵AB∥CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB，BE=AC，
∵梯形中位线为 $\text{[math]}$ ，
∴AB+CD=17，
∴DE=CE+CD=AB+CD=17，
∵BE=AC=8，BD=15，
∴DE²=BD²+BE²，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠COD=90°，
设S_△EBD=S，
∵△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，
则S₂：S=DO²：DB²，S₁：S=OB²：BD²，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵S_△EBD= $\text{[math]}$ BD•BE= $\text{[math]}$ ×8×15=60，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
故答案为：2 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．